树状数组求第k小+二维树状数组

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前置知识:一维树状数组+多维前缀和

一维树状数组:

  1. 普通版，O(log)区间查询，O(log)单点更新
  2. 差分版，O(log)单点查询，O(log)区间更新
  3. 维护多个差分数组，O(log)区间查询，O(log)区间更新

树状数组求第k小，即用普通版树状数组统计数字出现次数

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#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#include<string>
#include<map>
#include<cstdio>
#include<list>
#include<stack>
#include<unordered_set>
using namespace std;
using ll = int64_t;
ll T, n, m, k;
ll tmp, a[300005];
void add(ll x,ll val)
{
    for (; x <= n;x+=x&(-x))
    {
        a[x] += val;
    }
}
ll ask(ll x)
{
    ll ret = 0;
    for (; x;x-=x&(-x))
    {
        ret += a[x];
    }
    return ret;
}
int main()
{
    T = 1;
    //cin >> T;
    while(T--)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        cin >> n>>k;
        ll mx = -1;
        for (ll i = 1; i <= n;i++)
        {
            cin >> tmp;
            add(tmp, 1);
            if(mx<tmp)
            {
                mx = tmp;
            }
        }
        ll l = 1, r = mx;
        while(r-l>1)
        {
            ll mid = (r + l) / 2;
            if(ask(mid)==k)
            {
                l = mid;
                r = mid;
            }else if(ask(mid)<k)
            {
                l = mid + 1;
            }else
            {
                r = mid;
            }
        }
        cout << l << "\n";
    }
    return 0;
}

而二维树状数组，用两层嵌套的for

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void add(int x,int y,int val)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=i&(-i))
    {
        for(int j=y;j<=m;j+=j&(-j))
        {
            tree[i][j]+=val;
        }
	}
}
int ask(int x,int y)
{
    ll ret=0;
    for(int i=x;i;i-=i&(-i))
    {
        for(int j=y;j;j-=j&(-j))
        {
            ret+=tree[i][j];
        }
    }
    return ret;
}
int range_ask(int x1,int y1,int x2，int y2)//1为左上角，2为右下角
{
    ll ret=0;
    ret+=ask(x2,y2);
    ret+=ask(x1-1,y1-1);
    ret-=ask(x1-1,y2);
    ret-=ask(x2,y1-1);
    return ret;
}//坐标从1开始，下标含0的要置0

很好理解，每个x值对应一个一维树状数组，故先对每个x值所对应的一维数组进行更新、查询，再进行整合

时间复杂度为:单点更新，区间查询，区间查询还用到了容斥定理

差分版:

由二维前缀和可知：

a[i][j]=sum[i][j]-sum[i-1][j]-sum[i][j-1]+sum[i-1][j-1]

故用d[i][j]表示a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]

当求a[i][j]时，套用区间查询即可

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void add(int x,int y,int val)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=i&(-i))
    {
        for(int j=y;j<=m;j+=j&(-j))
        {
            tree[i][j]+=val;
        }
    }
}
void range_add(int x1,int y1,int x2,int y2,int val)
{
    add(x2+1,y2+1,val);
    add(x1,y1,val);
    add(x1,y2+1,-val);
    add(x2+1,y1,-val);
}
int ask(int x,int y)
{
    int ret=0;
    for(int i=x;i;i-=i&(-i))
    {
        for(int j=y;j;j-=j&(-j))
        {
            ret+=tree[i][j];
        }
	}
    return tree[i][j];
}

区间修改、区间查询同一维数组类似，维护多个差分数组，推式子即可