高数下笔记

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级数

级数的概念

级数条件收敛、绝对收敛的区别

级数收敛的充分必要条件：$S_{n}$收敛于常数a

级数收敛的必要条件：$u_{n}$极限为0、子序列都收敛于同一常数a、对级数任意添加括号后其收敛性不变

收敛级数的性质：线性运算(收敛级数+发散级数=发散级数)

正项/负项级数判断收敛方法：

1. 比较法(极限形式)，寻找已知收敛性的正项级数($n^{p}与x^{n}$),与极限中的泰勒展开等知识联系，也可用基本不等式转化形式，结合收敛级数性质证明，如$\frac{\sqrt{u_{n} } } {n}-->\frac{1}{n^{2}+u_{n} }$(PS:$\frac{(lnn)^{k} } {n^{p}}$敛散性同$\frac{1}{n^{p} }$)
2. 比值判别法(极限形式)、根值判别法(极限形式)，一般根值比比值更加通用
3. 积分判别法,仅当$u_{n}=f(n)$为非负单减函数，$u_{n}$与f(n)趋向于正无穷的积分同敛散，放缩证明(通过积分，我们可以证明$\frac{1}{n^{p}*{(lnn)^{k}}}$的敛散性如下：当p>1,收敛,当p<1,发散,当p=1,若k>1收敛,若k<=1,则发散)
4. 拉贝判别法,当$u_{n}$为正项级数，设$r=\lim_{n\to\infty}n*(1-\frac{u_{n+1}}{u_{n}})$,则r>1时,收敛;r=1时,需进一步判断;r<1时,发散,可以理解为比值判别法在等于1的情况下进一步收紧

一般级数的判断收敛方法：

1. 先用绝对值+正项级数的判断方法，若收敛，则绝对收敛(注意,若用绝对值的比值、根值判别法判断出发散,则直接知道该级数发散)
2. 若绝对值不收敛，且该级数为交错级数，若其绝对值(极限形式)递减且极限为0，则该交错级数收敛

一般级数收敛的性质:

1. 若绝对收敛,则级数中的正项部分、负项部分都分别收敛，若条件收敛，则级数中的正项部分、负项部分则分别发散(交错级数下,正负项级数的下标确定,可运用该性质)
2. 绝对收敛的级数，其项任意重排后仍绝对收敛，其和不变，条件收敛重排后可能发散或改变其和

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函数项级数、幂级数的概念、收敛点、发散点、收敛域

和函数的概念、泰勒级数、麦克劳林级数

如何求收敛域：

1. 定义求，即取$u_{n+1}/u_{n}$，当n趋于无穷时，使使该值小于1的值，而等于1的值需要进行特判(适用于指数为3*n-1等不规则情况)
2. 结论求，$R=\lim_{n\to\infty}{|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}|}$,若R==0,则收敛域为$x_{0}$,若$R=\infty$,则收敛域为实数集，其他情况需对端点进行特判(绝对or条件收敛or发散)(为定义求的导出公式)

幂级数性质：

1. 两个幂级数相加相乘，收敛域一般取交集
2. 可进行求导、积分等操作

如何将函数展开成幂级数：

1. 参考泰勒公式，用裂项等方式转化成初等函数样式，收敛域同样得出，无需验证
2. 对原函数进行求导、微分等操作转化成初等函数样式，同上
3. 取$a_{n}$为原函数的n阶导函数在$x_{0}$处的值除以n的阶乘，并求出收敛区间R，验证$R_{n}(x)$(误差函数，参考拉格朗日余项)在n趋向于无穷时是否为0

如何求和函数:

1. 求导、积分、提取因式成等比数列形式，用等比数列求得和函数后再变形，注意积分时要加$S(0)$
2. 转化成初等函数的幂函数展开形式，再进行逆运算(适用于含阶乘的式子)(2n!!可转化成$2^{n}*n!$)(可能涉及$e^{x}、sinx、cosx$展开式的互消)
3. 变量替换成简单的形式再进行求和

如何求级数的和：

1. 将级数中的常数替换成x，使其变成函数项级数，求得和函数后代入，需要注意收敛域得包含该常数

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傅里叶级数

原函数要求—周期函数、有限个第一类间断点、极值点(比展开成幂函数的条件低得多)

傅里叶级数的性质：

1. 傅里叶级数在$x_{0}$处的值为原函数在$x_{0}$左右极限值的平均值(故不一定与原函数相等)

2. 傅里叶级数在实数集内收敛

3. 若函数以2p为周期，则

   $$a_{0}=\frac{1} {p}*\int^{p}_{-p}f(x)dx$$ $$a_{n}=\frac{1}{p}*\int^{p}_{-p}f(x)*cos\frac{n{\pi}x} {p}dx$$ $$b_{n}=\frac{1}{p}*\int^{p}_{-p}f(x)*sin\frac{n{\pi}x} {p}dx$$

   (常给出傅里叶级数来推周期)

正弦级数的性质:

1. $a_{n}$均为0，为奇函数

余弦函数的性质:

1. $b_{n}$均为0,为偶函数

题目只给出(0,T/2)的函数，要求展开成正弦、余弦函数，依据要求补全函数

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解析几何

如何判断直线异面、相交、平行

1. 若向量平行，则平行
2. 若向量相交，在两个直线上各取一点，取这两点的向量，若三个向量异面，则两直线异面，否则两直线相交

如何求两异面直线之间的距离

1. 各取直线上任意一点，取其连线向量
2. 假设将一条直线移至另一条直线所在平面，取该平面法向量(由两条直线向量得到)
3. 同求面外一点到平面的距离

如何求直线的切线、法平面(即切向量)

1. 给定以t为自变量的参数式，x、y、z分别对t求导后，取$( x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0}) )$即为切向量
2. 若给定y=y(x)、z(x)，则y、z分别对x求导同上，取$( 1,y'(x_{0}),z'(t_{0}) )$即为切向量(给的是隐函数也可，如$x^{2}+y^{2}=R^{2}$)
3. 若给定一般式，即F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,则切向量为$(\frac{ {\partial}(F,G)}{ {\partial}(y,z)},\frac{ {\partial}(F,G)}{ {\partial}(z,x)},\frac{ {\partial}(F,G)}{ {\partial}(x,y)})$在$(x_{0},y_{0},z_{0})$(雅克比行列式)

如何求曲面的切平面、法线(即法向量)

1. 曲面方程为F(x,y,z)，则法向量为$(F_{x}(p_{0}),F_{y}(p_{0}),F_{z}(p_{0}))$(设曲面上过$p_{0}$的任意一条曲线可推)
2. z=f(x,y),则F(x,y,z)=f(x,y)-z=0，同上
3. 若为参数式，即x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),则法向量为$(\frac{ {\partial}(y,z)}{ {\partial}(u,v)},\frac{ {\partial}(z,x)}{ {\partial}(u,v)},\frac{ {\partial}(x,y)}{ {\partial}(u,v)})$(雅克比行列式)

如何求曲线的弧长:

1. 给定参数式，则$S=\int_{a}^{b}\sqrt{x^{2}(t)+y^{2}(t)+z^{2}(t)}dt$(二维、高维都可类推)

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多元函数

多元函数极限的性质:

1. 若两种累次极限(即先趋近于$x_{0}$再趋近于$y_{0}$或相反)和二重极限(同时趋近)都存在，则三者相等
2. 若两种累次极限都存在且不相等，则二重极限不存在

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多元函数连续的概念

如何判断多元函数连续:

1. 若为$\frac{x^{a} *y^{b} }{\sqrt[k]{x^{2}+y^{2}} }$,则将x、y都放成$\sqrt{x^{2}+y^{2} }$的形式，若极限为0，则连续，若不为0，则不连续
2. 将y替换成$y=y_{0},k*x,k*x^{2}$的形式，或者其他可以消元的形式(注意需要x趋近于$x_{0}$时，y也要趋近于$y_{0}$)，多代几种形式，若极限不存在或不统一，则不连续
3. 求累次极限，若都存在且不相等，则该多元函数在此点极限不存在

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偏导数的概念

如何求偏导数:

1. 定义求，一坐标取极限，其他坐标固定一般用于分段函数
2. 将除所求偏导以外的自变量视为常数，正常求导
3. 若给定隐函数,一是转化成方程形式,G(x,y,z)=0(注意需要$\frac{ {\partial}G}{ {\partial}z}!=0$),则$\frac{ {\partial}z}{ {\partial}x}=-\frac{G_{1} }{G_{3} }$;二是根据定义求,一样转化成方程形式后,根据链式法则与偏导数等于0推出,和公式差不多;三是将方程用全微分展开,得到dz=…dx+…dy的形式
4. 若给定方程组,则自由变量数=总变量数-方程数,一可使用雅可比式;二可将方程组对自由变量求偏导(此时因变量用自由变量表示),能得出以因变量对自由变量偏导为未知数的方程组，解该方程组即可;三是求全微分，消去依然是化成dv=…dx+…dy和du=…dx+…dy的形式(所有变量统一做自变量处理)

偏导数的性质:

1. 若两种二阶偏导数(xy与yx)都在$(x_{0},y_{0})$处连续，则两者在该点处值相等

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全增量的概念、全微分的概念

如何判断全微分存在：

1. $$\frac{dz-f_{x}*dx-f_{y}*dy}{\alpha*dx+\beta*dy}$$

   or

   $$\frac{dz-f_{x}*dx-f_{y}*dy}{\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}}$$

   极限若为0，则全微分存在，极限不为0，则全微分不存在

2. 若偏导数在$(x_{0},y_{0})$处均连续，则在该点可微

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方向导数的概念，存在方向导数!=可微or连续or偏导数存在

如何求方向导数u(x,y,z):

1. 先求梯度,

   ($\frac{ {\partial} u} { {\partial}x},\frac{ {\partial}u} { {\partial}y},\frac{ {\partial}u} { {\partial}z}$),梯度为矢量，用方向导数所对应的方向矢量与其点乘(当函数在该点可微时)(此时方向导数反映曲面与某个切面的交线的斜率)

2. 若函数不可微:定义求—$\lim_{p{\to}p_{0} }\frac{ {\delta}u} {p}$(p为以$p_{0}$为起点的射线长度)

梯度的应用:

1. 给定二元函数z=f(x,y),则在$p_{0}$处的梯度为其等值线f(x,y)-f($x_{0},y_{0}$)=0的一个法向量
2. 同理，u=f(x,y,z)，则梯度为等值面的一个法向量

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多元函数极值的概念

1. 极值点一定为内点
2. 存在极值点不代表该点函数可偏导or连续

如何求多元函数的极值:

1. 多元函数的极值一定存在于驻点或偏导数不存在的点(驻点可通过求偏导数均为0的点得出)
2. 对于驻点，我们设$A=f_{xx}(x_{0},y_{0})$,$B=f_{xy}(x_{0},y_{0})$,$C=f_{yy}(x_{0},y_{0})$,若$B^{2}-A*C<0$,则该点为极值点，若A或C>0时，该点为极小值，若A或C<0，则该点为极大值;若$$B^{2}-A*C>0$，则一定不为极值点;若$B^{2}-A*C=0$$,则不一定,进一步讨论(与判断多元函数极限是否存在类似，取几个特殊情况方程来消元、判断)
3. 偏导数不存在的点只能根据定义来求(同上，取特殊情况方程讨论)

如何求带有限制下的极值(拉格朗日乘数法)

1. u=u(x,y,z),限制为t(x,y,z)=0,则设F(x,y,z,a)=u(x,y,z)+a*t(x,y,z),再根据偏导数都为0，得出方程组，解为$x_{0},y_{0},z_{0},a_{0}$($a_{0}$不是一定要求),则该点即为限制情况下的可能极值点

如何求多元函数在闭区域上的最大、最小值—先求边界内部的极值点，边界上的点运用拉格朗日乘数法得出

应用：求给定曲面到某个平面的最短距离等等

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二重积分的性质:

1. 线性运算
2. 积分区域可叠加
3. 若f(x,y)<=g(x,y)，则在D上f(x,y)的积分<=g(x,y)的积分
4. f(x,y)在D上最大值为M，最小值为m，则$S_{D}*m<=\iint_{D}f(x,y)<=S_{D}*M$
5. 若f(x,y)在D上连续，则存在一点$p_{0}$，使得$S_{D}*f(x_{0},y_{0})==\iint_{D}f(x,y)$
6. 计算二重积分时可根据f(x,y)关于x、y的奇偶性对D进行化简

计算二重积分:

1. 将D用直线x=a与直线x=b包住，并计算对于确定的x，所对应的y坐标范围(一般用两个含x的函数表示)，先将函数对y积分，再对x积分(y型同理)。适用于:好算就行(),注意可交换积分次序，即通过已有积分次序画出图像，再重复上述过程。也可结合二元函数的轮换性质(即x、y等价)，如将一元函数转化成二元函数证明
2. 转化成极坐标下的二重积分，即$x={\rho}*cos{\theta}$,$y={\rho}*sin{\theta}$,$\int_{x}\int_{y}f(x,y)=\int_{\theta}\int_{\rho}f({\rho}*cos{\theta},{\rho}*sin{\theta})*{\rho}$。同样分两种，${\rho}$型用圆弧围住，${\theta}$型用射线围住。注意，若原点在D的边界或D中，则用${\theta}$型，其变化范围分别是两条切线间的角度与0到$2{\pi}$。适用于:f(x,y)或D含$x^{2}+y^{2}$，用x、y积分无法积出
3. 令$x=a*cos{\theta},y=b*sin{\theta}$,类似于2，如何转化参考4
4. 令$x=x(u,v),y=y(u,v)$,则$\iint_{D}f(x,y)=\iint_{D^{'} }f(x(u,v),y(u,v))*|\frac{\delta(x,y)}{\delta(u,v)}|*du*dv$(雅克比行列式)

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三重积分的概念

三重积分的性质(类似二重积分):

1. 可叠加性
2. 积分中值定理,若f(x,y,z)在V上连续,存在一点$f(x_{0},y_{0},z_{0})$使得$\iiint_{V}f(x,y,z)=f(x_{0},y_{0},z_{0})*V$
3. 改变有限个函数值不影响积分的值

三重积分的计算：

1. 若积分边界都为常数，可按任意次序直接积分

2. 先一后二，即先将z按”线段长度”积分成含(x,y)的式子，再在V积分区域在xOy平面上的投影，对x、y进行二重积分

   适用于:容易算就行233

3. 先二后一，先将积分区域截成一个个平行于xOy平面的截面，对每个截面进行二重积分后得出含z的式子，然后对z进行积分

   适用于:同上

4. 柱面变化，即令$x={\rho}*cos{\theta}$,$y={\rho}*sin{\theta}$,$z=z$，对x、y积分时采用极坐标积分方法来化简计算(注意要$*{\rho}$)，其他同上述两种方法

   适用于:积分区域或积分方程含$x^{2}+y^{2}$

5. 球面变化，即令$x=r*cos{\theta}*sin{\psi}$,$y=r*sin{\theta}*sin{\psi}$,$z=r*cos{\psi}$，则$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$，其中，r为点到原点的距离，${\theta}$为与xOy平面垂直的半平面的x轴正方向的夹角($0<={\theta}<=2{\pi}$)(完全可以套用极坐标中的理解)，${\psi}$即原点与点的连线，与z轴正方向的夹角($0<={\psi}<={\pi}$)，注意转化后原式子需要$*r^{2}*sin{\psi}$(6中会解释)

   适用于:积分区域或积分方程中含球体方程

6. 一般变化，$x=x(u,v,w)$,$y=y(u,v,w)$,$z=z(u,v,w)$,要求$\frac{\delta(x,y,z)}{\delta(u,v,w)}!=0$，则新的积分方程为$f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))*|\frac{\delta(x,y,z)}{\delta(u,v,w)}|dudvdw$，注意雅可比行列式取绝对值

   适用于:平移球心至原点以化简计算

7. 椭球变化，即令$x=a*r*cos{\theta}*sin{\psi}$,$y=b*r*sin{\theta}*sin{\psi}$,$z=c*r*cos{\psi}$，则$\frac{x^{2} }{a^{2} }+\frac{y^{2} }{b^{2} }+\frac{z^{2} }{c^{2} }=r^{2}$,原式子需$*abc*r^{2}*sin{\psi}$

三重积分交换积分次序：

1. 将问题转化为交换相邻两个积分的积分次序
2. 套用二重积分交换积分次序

一些化简计算的小tips:

1. 利用一般变化将球心、圆心移到原点，再依据函数的奇偶性与积分区域的对称性化简计算(平移后雅可比行列式为常数)
2. 利用积分区域的对称性和轮换性，将非对称积分式子转化为对称积分式子(如$1/4*x^{2}+1/9*y^{2}$变为$13/36*x^{2}$,再变为$13/72*(x^{2}+y^{2})$)
3. 将积分区域分割成几个对称的小部分，再利用函数奇偶性化简
4. 已知y=y(t),x=x(t),积分时先设y=y(x),最后统一用t代换

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重积分的应用

计算曲面面积：

1. 曲面方程z=f(x,y)，(x,y)属于区域D，则$S=\iint_{D}\sqrt{1+f_{x}^{2}(x,y)+f_{y}^{2}(x,y)}dxdy$(同理，y=f(x)，a<=x<=b,弧长=$\int_{a}^{b}\sqrt{1+f^{2}(x)}$)
2. 曲面方程x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),则$S=\iint_{D}\sqrt{ {(\frac{\delta(y,z)}{\delta(u,v)}) }^{2}+{(\frac{\delta(z,x)}{\delta(u,v)}) }^{2}+{(\frac{\delta(x,y)}{\delta(u,v)}) }^{2} }dudv$(同理,x=x(t),y=y(t),z=z(t),a<=t<=b,则弧长=$\int_{a}^{b}\sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)+z^{'2}(t)}dt$)

计算重心：

1. 若密度为${\rho}(x,y,z)$，则$x_{0}=\frac{\iiint_{V} x*{\rho}(x,y,z)}{\iiint_{V}{\rho}(x,y,z)}$,$y_{0}=\frac{\iiint_{V} y*{\rho}(x,y,z)}{\iiint_{V}{\rho}(x,y,z)}$,

   $$z_{0}=\frac{\iiint_{V} z*{\rho}(x,y,z)}{\iiint_{V}{\rho}(x,y,z)}$$

2. 密度为${\rho}(x,y)$的薄片同理

计算转动惯量:

1. 对x轴的转动惯量：$\iiint_{V}(y^{2}+z^{2})*{\rho}(x,y,z)dV$

   对y轴的转动惯量：$\iiint_{V}(x^{2}+z^{2})*{\rho}(x,y,z)dV$

   对z轴的转动惯量：$\iiint_{V}(x^{2}+y^{2})*{\rho}(x,y,z)dV$

2. 对xOy平面的转动惯量：$\iiint_{V}(z^{2})*{\rho}(x,y,z)dV$

   对xOz平面的转动惯量：$\iiint_{V}(y^{2})*{\rho}(x,y,z)dV$

   对yOz平面的转动惯量：$\iiint_{V}(x^{2})*{\rho}(x,y,z)dV$

3. 密度为${\rho}(x,y)$的薄片同理:

   对x轴的转动惯量：$\iiint_{D}(y^{2})*{\rho}(x,y)dD$

   对y轴的转动惯量：$\iiint_{D}(x^{2})*{\rho}(x,y)dD$

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第一型曲线积分

$$\int_{L}f(x,y)dS或\int_{L}f(x,y,z)dS$$

曲线积分的性质:

1. 可分割叠加(首尾相连)
2. 可计算重心、转动惯量，只是积分区间变为曲线

曲线积分的计算:

1. 根据积分区域对称性、轮换对称性与积分方程奇偶性进行化简
2. 由于积分区域是个确定的方程，故积分方程可直接用积分区域方程代换化简，若积分方程代换成常数，则直接用常数*弧长
3. 利用参数方程转化成定积分计算：
   1. 积分区域方程为x=x(t),y=y(t),a<=t<=b,则$\int_{L}f(x,y)dS=\int_{a}^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}dt$,若为x=x(t),y=y(t),z=z(t)，一样，根号下加个$z^{'2}(t)$
   2. 积分区域方程为y=y(x),a<=x<=b或x=x(y),a<=y<=b，同上。
   3. 积分区域方程为${\rho}={\rho}({\theta}),a<={\theta}<=b$,则$\int_{L}f(x,y)dS=\int_{a}^{b}f({\rho}*cos{\theta},{\rho}*sin{\theta})*\sqrt{ {\rho}^{2}(\theta)+{\rho}^{'2}(\theta)}d{\theta}$

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格林公式的应用

单连通区域(单条闭合曲线)、复连通区域(多条闭合曲线)

给定区域，规定曲线方向的正负—区域在左侧时方向为正，否则为负

$$\iint_{D}(\frac{ {\delta}Q}{ {\delta}x}-\frac{ {\delta}P}{ {\delta}y})dxdy=\iint_{L}Pdx+Qdy$$

1. L为负向时，右边方程要加负号
2. 一般是将曲线积分变为二重积分(变成常数后，直接用常数*面积)，二重积分转化成曲线积分时方程不唯一
3. 条件:P、Q有一阶连续偏导数(不可包含奇点)
4. 常用：$\iint_{D}(1)dxdy=1/2*\iint_{L}xdy-ydx$

格林公式的应用:

1. 若$\frac{ {\delta}Q}{ {\delta}x}-\frac{ {\delta}P}{ {\delta}y}=0$，则区域D上积分为0(前题是区域D不包含奇点—一阶偏导数不连续的点)
2. 若D为单连通区域，则边界曲线积分值为0;若为复连通区域，则边界曲线积分值=内部曲线积分值的相反数(其和为0)
3. 求包含奇点的曲线积分值，可以将单连通区域变成复联通区域(内部曲线取好求的、包含奇点的曲线)，再通过2即可求出外部曲线积分值
4. 由3可知，若满足1，则包含奇点的任意曲线积分值都相同

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曲线积分与路径无关性

若D为单连通区域，且区域内P、Q的一阶连续偏导数存在，则以下定义等价:

1. 沿D内任一光滑闭合曲线L积分值为0
2. 曲线积分L(不一定闭合)的值只与起点、终点有关，与积分路径无关
3. Pdx+Qdy为某函数u(x,y)的全微分，即du=Pdx+Qdy
4. 在D内处处成立:$\frac{ {\delta}Q}{ {\delta}x}-\frac{ {\delta}P}{ {\delta}y}=0$(常用)

应用:

1. 求某一条非闭合曲线的积分(起点、终点不一样)，证得其与路径无关后，用更简易的路径方程积分(注意两条曲线之间不能包含奇点)
2. 求原方程u(x,y)(针对定义3)，定下起点$(x_{0},y_{0})$，终点$(x,y)$后将积分路径分解成两条平行于坐标轴的直线，然后按定义积分即可(记得加常数C)，也可以直接按偏导数的知识求原方程

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第一型曲面积分

将曲面积分投影到一个平面内，转化成二重积分$\iint{f(x,y,z)dS}=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))*\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2} }$(投影到yz、xz平面同理)

注意投影时不能选择投影不为面的平面

可运用对称性、轮换对称性进行化简

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第二型曲面积分

与第二型曲线积分:$\iint_{L}Pdx+Qdy$类似:$\iint_{S}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$

引入曲面的正侧和反侧:

给定z=z(x,y),规定法向量与z轴夹角为锐角一侧的法向量为正侧，另一侧为负侧(适用于双侧曲面，即莫比乌斯环等单侧曲面不适用)

两类积分的转化:$\iint_{S}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$=$\iint_{S}P*cos+Q*cos+R*cosdS$(cos为点(x,y,z)处单位法向量)，当二型的一个投影难以确定或不好计算时，可转化成一型计算(一般适用于法向量方向一定—即平面、球面—此处结合求曲面的法向量)

如何计算:

1. 转化为3个投影区域上的二重积分之和(即Pdxdy、Qdydz、Rdzdx直接分开算)(注意需要通过法向量方向判断是减还是加)
2. 利用对称性化简(注意考虑法向量方向的正负—P为偶函数积分为0，P为奇函数积分*2)
3. 补成闭合曲面后(注意正负侧要对应)，单独计算补面的积分(一般容易计算)，再将闭合曲面转化成三重积分计算
4. 三重积分为0且包含奇点时，同理，选取一个容易计算的、包含奇点的新闭合曲面进行计算

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高斯公式—-将曲面积分转化为三重积分

$$\iint(\frac{ {\delta}P}{ {\delta}x}+\frac{ {\delta}Q}{ {\delta}y}+\frac{ {\delta}R}{ {\delta}z})dxdydz=\iint_{S}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$$

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斯托克斯公式—-将二型空间曲线积分转化成二型曲面积分(方向符合右手定则)

$$\iint_{S}((\frac{ {\delta}R}{ {\delta}y}-\frac{ {\delta}Q}{ {\delta}z})dydz+(\frac{ {\delta}P}{ {\delta}z}-\frac{ {\delta}R}{ {\delta}x})dydz)dzdx+(\frac{ {\delta}Q}{ {\delta}x}-\frac{ {\delta}P}{ {\delta}y})dxdy=\iint_{L}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz$$

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